شبكة معلومات تحالف كرة القدم

2025-07-04 15:08:43

مقدمة عن الأعداد المركبة

الأعداد المركبة (الأعداد العقدية) هي أعداد تتكون من جزئين: جزء حقيقي وجزء تخيلي. تُكتب عادةً على الصورة a + bi، حيث:
- a هو الجزء الحقيقي
- b هو الجزء التخيلي
- i هي الوحدة التخيلية، حيث i² = -1

تعتبر الأعداد المركبة امتدادًا للأعداد الحقيقية وتلعب دورًا أساسيًا في العديد من المجالات مثل الهندسة الكهربائية، الفيزياء، والرياضيات المتقدمة.

خصائص الأعداد المركبة

1. الجمع والطرح:
   عند جمع أو طرح عددين مركبين، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل.
   مثال:
   (3 + 2i) + (1 + 4i) = (3+1) + (2+4)i = 4 + 6i

   

2. الضرب:
   لضرب عددين مركبين، نستخدم خاصية التوزيع ونأخذ في الاعتبار أن i² = -1.
   مثال:
   (2 + 3i) × (1 + 2i) = 2×1 + 2×2i + 3i×1 + 3i×2i = 2 + 4i + 3i + 6i² = 2 + 7i + 6(-1) = -4 + 7i

3. القسمة:
   لقسمة عددين مركبين، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام (يتم تغيير إشارة الجزء التخيلي).
   مثال:
   (1 + i) / (1 - i) = [(1+i)(1+i)] / [(1-i)(1+i)] = (1 + 2i + i²) / (1 - i²) = (1 + 2i -1) / (1 - (-1)) = 2i / 2 = i

التمثيل الهندسي للأعداد المركبة

يمكن تمثيل العدد المركب a + bi كنقطة في المستوى الإحداثي (يسمى المستوى المركب)، حيث:
- المحور الأفقي يمثل الجزء الحقيقي (a)
- المحور الرأسي يمثل الجزء التخيلي (b)

هذا التمثيل يساعد في فهم العمليات مثل الجمع (إزاحة النقاط) والضرب (الدوران والتمدد).

الصورة القطبية للأعداد المركبة

يمكن التعبير عن العدد المركب باستخدام الصورة القطبية:
r(cosθ + i sinθ)
حيث:
- r هو المقدار (المعيار) ويحسب بالعلاقة: √(a² + b²)
- θ هي الزاوية (الطور) وتقاس بالنسبة للمحور الحقي

هذه الصورة مفيدة في عمليات مثل رفع الأعداد المركبة إلى قوى أو استخراج الجذور.

تطبيقات الأعداد المركبة

1. الهندسة الكهربائية: تستخدم لتحليل دوائر التيار المتردد.
2. معالجة الإشارات: تساعد في تحليل الإشارات باستخدام تحويل فورييه.
3. الميكانيكا الكمية: تلعب دورًا أساسيًا في معادلات الموجة.

الخلاصة

الأعداد المركبة أداة رياضية قوية توسع مفهوم الأعداد الحقيقية. بفهم أساسياتها وتطبيقاتها، يمكن حل مشكلات معقدة في مختلف المجالات العلمية والهندسية.

الأعداد المركبة (الأعداد العقدية) هي أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات التي توسع نطاق الأعداد الحقيقية لتشمل حلولاً لمعادلات لا يمكن حلها باستخدام الأعداد الحقيقية وحدها. في هذا المقال، سنستعرض تعريف الأعداد المركبة، خصائصها، تمثيلها، وكيفية استخدامها في مختلف التطبيقات الرياضية والعلمية.

تعريف الأعداد المركبة

العدد المركب هو أي عدد يمكن كتابته على الصورة:
[ z = a + bi ]
حيث:
- ( a ) و ( b ) هما عددان حقيقيان.
- ( i ) هي الوحدة التخيلية، وتحقق العلاقة ( i^2 = -1 ).

يُطلق على ( a ) اسم "الجزء الحقيقي" للعدد المركب، بينما يُسمى ( b ) "الجزء التخيلي".

تمثيل الأعداد المركبة

يمكن تمثيل الأعداد المركبة بعدة طرق، منها:

1. التمثيل الجبري: ( z = a + bi )
2. التمثيل الهندسي (المستوى المركب): حيث يُرسم العدد كنقطة في المستوى الإحداثي، حيث المحور الأفقي يمثل الجزء الحقيقي والمحور الرأسي يمثل الجزء التخيلي.
3. التمثيل القطبي: ( z = r (\cos \theta + i \sin \theta) ) أو باستخدام صيغة أويلر: ( z = r e^{i\theta} )، حيث ( r ) هو المقدار (المعيار) و ( \theta ) هو الزاوية (الطور).

العمليات الأساسية على الأعداد المركبة

1. الجمع والطرح:
   [ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ]
   [ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i ]

2. الضرب:
   [ (a + bi) \cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i ]

3. القسمة:
   لقسمة عددين مركبين، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام:
   [ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} ]

4. المرافق المركب:
   مرافق العدد ( z = a + bi ) هو ( \overline{z} = a - bi ).

تطبيقات الأعداد المركبة

تستخدم الأعداد المركبة في العديد من المجالات، مثل:
- الهندسة الكهربائية: لتحليل دوائر التيار المتردد.
- الفيزياء: في ميكانيكا الكم ومعادلات الموجات.
- معالجة الإشارات: في تحليل الإشارات الرقمية والتناظرية.
- الرسومات الحاسوبية: لتمثيل التحولات الهندسية.

الخلاصة

الأعداد المركبة توسع مفهوم الأعداد الحقيقية وتقدم حلولاً للمعادلات التي لا تملك جذوراً حقيقية. بفضل خصائصها الفريدة وتطبيقاتها الواسعة، تُعد الأعداد المركبة أداة رياضية قوية في العديد من المجالات العلمية والتقنية.

إذا كنت مهتماً بتعلم المزيد، يمكنك استكشاف مواضيع مثل "دوال الأعداد المركبة" أو "نظرية الأعداد المركبة" للتعمق في هذا المجال الرائع!

مقدمة

الأعداد المركبة (الأعداد العقدية) هي أحد أهم المفاهيم في الرياضيات، حيث تمثل امتدادًا للأعداد الحقيقية. تتكون هذه الأعداد من جزئين: جزء حقيقي وجزء تخيلي، مما يجعلها أداة قوية في العديد من التطبيقات العلمية والهندسية. في هذا المقال، سنستعرض تعريف الأعداد المركبة، خصائصها الأساسية، وكيفية استخدامها في مختلف المجالات.

تعريف الأعداد المركبة

العدد المركب هو أي عدد يمكن كتابته على الصورة:

[ z = a + bi ]

حيث:
- a هو الجزء الحقيقي من العدد.
- b هو الجزء التخيلي من العدد.
- i هي الوحدة التخيلية، وتحقق المعادلة ( i^2 = -1 ).

على سبيل المثال، العدد ( 3 + 4i ) هو عدد مركب، حيث الجزء الحقيقي هو 3 والجزء التخيلي هو 4.

التمثيل الهندسي للأعداد المركبة

يمكن تمثيل الأعداد المركبة على المستوى الإحداثي (المستوى المركب)، حيث يُرسم الجزء الحقيقي على المحور الأفقي (محور السينات) والجزء التخيلي على المحور الرأسي (محور الصادات). بهذه الطريقة، يصبح كل عدد مركب نقطة في المستوى.

على سبيل المثال، العدد ( 1 + 2i ) يمكن تمثيله بالنقطة (1, 2) في المستوى المركب.

العمليات الأساسية على الأعداد المركبة

1. الجمع والطرح

لجمع أو طرح عددين مركبين، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل.

مثال:
[ (2 + 3i) + (1 + 4i) = (2+1) + (3+4)i = 3 + 7i ]

2. الضرب

لضرب عددين مركبين، نستخدم خاصية التوزيع مع الأخذ في الاعتبار أن ( i^2 = -1 ).

مثال:
[ (1 + 2i) \times (3 + 4i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4i + 2i \cdot 3 + 2i \cdot 4i = 3 + 4i + 6i + 8i^2 ]
[ = 3 + 10i + 8(-1) = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i ]

3. القسمة

لقسمة عددين مركبين، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام لإزالة الجزء التخيلي من المقام.

مثال:
[ \frac{1 + 2i}{3 + 4i} = \frac{(1 + 2i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{3 - 4i + 6i - 8i^2}{9 - 16i^2} ]
[ = \frac{3 + 2i + 8}{9 + 16} = \frac{11 + 2i}{25} = \frac{11}{25} + \frac{2}{25}i ]

تطبيقات الأعداد المركبة

تستخدم الأعداد المركبة في العديد من المجالات، منها:

1. الهندسة الكهربائية: تحليل الدوائر الكهربائية التي تعمل بالتيار المتردد.
2. الفيزياء: دراسة الموجات والاهتزازات في الميكانيكا الكمية.
3. معالجة الإشارات: تحليل الإشارات الرقمية والتناظرية.
4. الرسومات الحاسوبية: تمثيل الحركات والدوران في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

الخاتمة

الأعداد المركبة هي أداة رياضية متعددة الاستخدامات، تتيح حل معادلات لا يمكن حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط. بفضل خصائصها الفريدة، أصبحت أساسية في العديد من التخصصات العلمية والتقنية. فهم الأعداد المركبة يفتح الباب لفهم أعمق للرياضيات وتطبيقاتها في العالم الحقيقي.

مقدمة

الأعداد المركبة (الأعداد العقدية) هي أعداد رياضية تمثل امتدادًا للأعداد الحقيقية، وتتكون من جزأين: جزء حقيقي وجزء تخيلي. تُكتب الأعداد المركبة عادةً بالصيغة a + bi، حيث a هو الجزء الحقيقي، وb هو الجزء التخيلي، وi هو الوحدة التخيلية التي تحقق المعادلة i² = -1.

تاريخ الأعداد المركبة

ظهرت فكرة الأعداد المركبة لأول مرة في القرن السادس عشر عندما حاول علماء الرياضيات حل المعادلات التكعيبية التي لا تحتوي على جذور حقيقية. ومع تطور الرياضيات، أصبحت الأعداد المركبة أداة أساسية في العديد من المجالات مثل الهندسة الكهربائية والفيزياء الكمية ومعالجة الإشارات.

خصائص الأعداد المركبة

1. الجمع والطرح: عند جمع أو طرح عددين مركبين، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل.
   مثال:
   (3 + 2i) + (1 - 4i) = (3 + 1) + (2i - 4i) = 4 - 2i

2. الضرب: نستخدم خاصية التوزيع ونأخذ في الاعتبار أن i² = -1.
   مثال:
   (2 + 3i) × (1 - i) = 2(1) + 2(-i) + 3i(1) + 3i(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i² = 2 + i - 3(-1) = 5 + i

3. القسمة: نقوم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام لإزالة i من المقام.
   مثال:
   (4 + 2i) / (1 + i) = [(4 + 2i)(1 - i)] / [(1 + i)(1 - i)] = (4 - 4i + 2i - 2i²) / (1 - i²) = (6 - 2i) / 2 = 3 - i

التمثيل الهندسي للأعداد المركبة

يمكن تمثيل العدد المركب a + bi كنقطة في المستوى الإحداثي، حيث يمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي والمحور الرأسي الجزء التخيلي. تُعرف هذه الطريقة بـ مستوى الأعداد المركبة أو مستوى أرغاند.

تطبيقات الأعداد المركبة

1. الهندسة الكهربائية: تُستخدم في تحليل الدوائر الكهربائية التي تعمل بالتيار المتردد (AC).
2. الفيزياء الكمية: تلعب دورًا أساسيًا في معادلات ميكانيكا الكم.
3. معالجة الإشارات: تساعد في تحليل الإشارات عبر تحويل فورييه.

الخلاصة

الأعداد المركبة ليست مجرد مفهوم نظري، بل لها تطبيقات عملية واسعة في العلوم والهندسة. فهمها يتطلب إدراك العلاقة بين الجزأين الحقيقي والتخيلي، وكيفية التعامل معها في العمليات الحسابية المختلفة.

الأعداد المركبة (الأعداد العقدية) هي أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات التي تجمع بين الأعداد الحقيقية والأعداد التخيلية. تُستخدم هذه الأعداد في العديد من المجالات مثل الهندسة الكهربائية، الفيزياء، وحتى في علوم الحاسوب. في هذا المقال، سنتعرف على ماهية الأعداد المركبة، كيفية تمثيلها، العمليات الحسابية الأساسية عليها، وأهم تطبيقاتها العملية.

ما هي الأعداد المركبة؟

العدد المركب هو عدد يمكن التعبير عنه بالصيغة التالية:
[ z = a + bi ]
حيث:
- a هو الجزء الحقيقي من العدد المركب.
- b هو الجزء التخيلي من العدد المركب.
- i هي الوحدة التخيلية، وتحقق العلاقة ( i^2 = -1 ).

على سبيل المثال، العدد ( 3 + 4i ) هو عدد مركب حيث الجزء الحقي هو 3 والجزء التخيلي هو 4.

تمثيل الأعداد المركبة

يمكن تمثيل الأعداد المركبة بعدة طرق، منها:

1. التمثيل الجبري: ( z = a + bi )
2. التمثيل الهندسي: يُمكن رسم العدد المركب على المستوى المركب (مستوى الأعداد العقدية) حيث المحور الأفقي يمثل الجزء الحقيقي والمحور الرأسي يمثل الجزء التخيلي.
3. التمثيل القطبي: يُكتب العدد المركب باستخدام الزاوية ونصف القطر كالتالي:
   [ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) ]
   حيث ( r ) هو طول المتجه و ( \theta ) هي الزاوية التي يصنعها مع المحور الحقيقي.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

1. الجمع والطرح

لجمع أو طرح عددين مركبين، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل:
[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ]
[ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i ]

2. الضرب

يتم ضرب عددين مركبين باستخدام خاصية التوزيع ومراعاة أن ( i^2 = -1 ):
[ (a + bi) \cdot (c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i ]

3. القسمة

لقسمة عددين مركبين، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام لإزالة الوحدة التخيلية من المقام:
[ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} ]

تطبيقات الأعداد المركبة

1. الهندسة الكهربائية: تُستخدم في تحليل دوائر التيار المتردد وحساب المعاوقة.
2. معالجة الإشارات: تساعد في تحليل الإشارات باستخدام تحويل فورييه.
3. الفيزياء الكمية: تلعب دورًا أساسيًا في معادلات ميكانيكا الكم.
4. الرسومات الحاسوبية: تُستخدم في توليد الفركتلات والرسومات المعقدة.

الخلاصة

الأعداد المركبة هي أداة رياضية قوية تُستخدم في العديد من التطبيقات العلمية والهندسية. من خلال فهم أساسياتها وتمثيلاتها المختلفة، يمكننا الاستفادة منها في حل مشكلات معقدة في مختلف المجالات. سواء كنت طالبًا أو مهندسًا أو باحثًا، فإن إتقان التعامل مع الأعداد المركبة سيفتح أمامك آفاقًا جديدة في فهم العالم من حولك.

الأعداد المركبة (الأعداد العقدية) هي أحد أهم المفاهيم في الرياضيات الحديثة، حيث تمثل توسيعًا لمجموعة الأعداد الحقيقية. في هذا المقال، سنستعرض تعريف الأعداد المركبة، خصائصها الأساسية، كيفية تمثيلها، وأهم تطبيقاتها العملية.

تعريف الأعداد المركبة

العدد المركب هو أي عدد يمكن كتابته على الصورة:
[ z = a + bi ]
حيث:
- ( a ) و ( b ) هما عددان حقيان
- ( i ) هي الوحدة التخيلية التي تحقق ( i^2 = -1 )

يُسمى ( a ) بـ "الجزء الحقيقي" للعدد المركب، بينما يُسمى ( b ) بـ "الجزء التخيلي".

تمثيل الأعداد المركبة

يمكن تمثيل الأعداد المركبة بعدة طرق:

1. التمثيل الجبري: ( z = a + bi )
2. التمثيل الهندسي: كنقطة في المستوى المركب (محور أفقي للجزء الحقيقي ومحور رأسي للجزء التخيلي)
3. التمثيل القطبي: ( z = r (\cos \theta + i \sin \theta) ) حيث ( r ) هو المقدار و ( \theta ) هو الزاوية

العمليات الأساسية على الأعداد المركبة

• الجمع والطرح:
  [ (a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i ]

• الضرب:
  [ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i ]

• القسمة:
  يتم ضرب البسط والمقام في مرافق المقام لإزالة ( i ) من المقام

الخصائص المهمة

1. المرافق المركب: إذا كان ( z = a + bi ) فإن مرافقه هو ( \overline{z} = a - bi )
2. المقدار (المعيار): ( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} )
3. صيغة أويلر: ( e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta )

تطبيقات الأعداد المركبة

تلعب الأعداد المركبة دورًا حيويًا في العديد من المجالات مثل:
- الهندسة الكهربائية: تحليل الدوائر المتناوبة
- الفيزياء: ميكانيكا الكم ومعادلات الموجة
- معالجة الإشارات: تحليل فورييه والتحويلات المختلفة
- الرسومات الحاسوبية: تمثيل الدورانات والتحويلات

الخاتمة

الأعداد المركبة ليست مجرد مفهوم نظري، بل لها تطبيقات عملية واسعة في العلوم والهندسة. فهمها يتطلب إدراك العلاقة بين الجزأين الحقيقي والتخيلي، وكيفية تفاعلهما في العمليات الحسابية المختلفة. مع التقدم في دراسة الرياضيات، ستكتشف المزيد من العمق والجمال في هذا المجال المثير.

الأعداد المركبة (Complex Numbers) هي أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات التي تجمع بين الأعداد الحقيقية والأعداد التخيلية. تُستخدم هذه الأعداد على نطاق واسع في العديد من المجالات مثل الهندسة الكهربائية، والفيزياء، وحتى في علوم الحاسوب. في هذا المقال، سنتعرف على ماهية الأعداد المركبة، وكيفية تمثيلها، وعملياتها الأساسية.

ما هي الأعداد المركبة؟

العدد المركب هو عدد يمكن التعبير عنه بالصيغة التالية:
[ z = a + bi ]
حيث:
- ( a ) هو الجزء الحقيقي من العدد المركب.
- ( b ) هو الجزء التخيلي من العدد المركب.
- ( i ) هو الوحدة التخيلية، والتي تُعرف بأنها الجذر التربيعي للعدد (-1)، أي أن ( i^2 = -1 ).

على سبيل المثال، العدد ( 3 + 4i ) هو عدد مركب، حيث ( 3 ) هو الجزء الحقيقي و ( 4 ) هو الجزء التخيلي.

تمثيل الأعداد المركبة

يمكن تمثيل الأعداد المركبة بعدة طرق، منها:

1. التمثيل الجبري: وهو التعبير عن العدد المركب بالصيغة ( a + bi ).
2. التمثيل الهندسي: حيث يمكن تمثيل العدد المركب كنقطة في المستوى المركب (المستوى الديكارتي)، حيث يمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي والمحور الرأسي الجزء التخيلي.
3. التمثيل القطبي: حيث يُعبر عن العدد المركب باستخدام المقدار (Modulus) والزاوية (Argument)، بالصيغة ( z = r (\cos \theta + i \sin \theta) ).

العمليات الأساسية على الأعداد المركبة

1. الجمع والطرح

لجمع أو طرح عددين مركبين، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية بشكل منفصل.
مثال:
[ (2 + 3i) + (1 - 4i) = (2 + 1) + (3i - 4i) = 3 - i ]

2. الضرب

لضرب عددين مركبين، نستخدم خاصية التوزيع ونأخذ في الاعتبار أن ( i^2 = -1 ).
مثال:
[ (1 + 2i) \times (3 - i) = 1 \times 3 + 1 \times (-i) + 2i \times 3 + 2i \times (-i) ]
[ = 3 - i + 6i - 2i^2 = 3 + 5i - 2(-1) = 3 + 5i + 2 = 5 + 5i ]

3. القسمة

لقسمة عددين مركبين، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام (Conjugate) لإزالة الجزء التخيلي من المقام.
مثال:
[ \frac{1 + 2i}{3 - 4i} \times \frac{3 + 4i}{3 + 4i} = \frac{(1 + 2i)(3 + 4i)}{9 + 16} = \frac{3 + 4i + 6i + 8i^2}{25} ]
[ = \frac{3 + 10i - 8}{25} = \frac{-5 + 10i}{25} = \frac{-1 + 2i}{5} ]

تطبيقات الأعداد المركبة

للأعداد المركبة تطبيقات عديدة في الحياة العملية، منها:
- الهندسة الكهربائية: تُستخدم في تحليل الدوائر الكهربائية التي تعمل بالتيار المتردد.
- معالجة الإشارات: تساعد في تحليل الإشارات والموجات.
- الفيزياء الكمية: تلعب دورًا أساسيًا في معادلات ميكانيكا الكم.

الخاتمة

الأعداد المركبة هي أداة رياضية قوية تُستخدم في العديد من التطبيقات العلمية والهندسية. من خلال فهم أساسياتها وتمثيلاتها المختلفة، يمكننا الاستفادة منها في حل المشكلات المعقدة. نأمل أن يكون هذا المقال قد ساعدك في فهم الأعداد المركبة بشكل أفضل!

الأعداد المركبة (Complex Numbers) هي أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات التي تجمع بين الأعداد الحقيقية والأعداد التخيلية. تُستخدم هذه الأعداد على نطاق واسع في العديد من المجالات مثل الهندسة الكهربائية، الفيزياء، ومعالجة الإشارات. في هذا المقال، سنستعرض تعريف الأعداد المركبة، خصائصها، وكيفية التعامل معها في العمليات الحسابية المختلفة.

ما هي الأعداد المركبة؟

العدد المركب هو أي عدد يمكن كتابته على الصورة:
[ z = a + bi ]
حيث:
- ( a ) هو الجزء الحقيقي من العدد المركب.
- ( b ) هو الجزء التخيلي من العدد المركب.
- ( i ) هو الوحدة التخيلية، والتي تُعرف بأنها الجذر التربيعي للعدد (-1)، أي أن ( i^2 = -1 ).

على سبيل المثال، العدد ( 3 + 4i ) هو عدد مركب، حيث ( 3 ) هو الجزء الحقيقي و ( 4 ) هو الجزء التخيلي.

التمثيل الهندسي للأعداد المركبة

يمكن تمثيل الأعداد المركبة على المستوى الإحداثي (المستوى المركب)، حيث يُرسم الجزء الحقيقي على المحور الأفقي (محور ( x )) والجزء التخيلي على المحور الرأسي (محور ( y )). بهذه الطريقة، يصبح كل عدد مركب نقطة في المستوى.

على سبيل المثال، العدد ( 2 + 3i ) يمكن تمثيله بالنقطة ( (2, 3) ) في المستوى المركب.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

1. الجمع والطرح

لجمع أو طرح عددين مركبين، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية بشكل منفصل.

مثال:
[ (2 + 3i) + (1 - 4i) = (2 + 1) + (3i - 4i) = 3 - i ]

2. الضرب

لضرب عددين مركبين، نستخدم خاصية التوزيع ونأخذ في الاعتبار أن ( i^2 = -1 ).

مثال:
[ (1 + 2i) \times (3 - i) = 1 \times 3 + 1 \times (-i) + 2i \times 3 + 2i \times (-i) ]
[ = 3 - i + 6i - 2i^2 = 3 + 5i - 2(-1) = 3 + 5i + 2 = 5 + 5i ]

3. القسمة

لقسمة عددين مركبين، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام (Conjugate) لتبسيط المقام إلى عدد حقيقي.

مثال:
[ \frac{1 + 2i}{3 - i} \times \frac{3 + i}{3 + i} = \frac{(1 + 2i)(3 + i)}{9 - i^2} = \frac{3 + i + 6i + 2i^2}{9 + 1} ]
[ = \frac{3 + 7i - 2}{10} = \frac{1 + 7i}{10} = \frac{1}{10} + \frac{7}{10}i ]

خاتمة

الأعداد المركبة تُعد أداة رياضية قوية تُستخدم في حل المعادلات التي ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية. من خلال فهم أساسياتها وتطبيقاتها، يمكن الاستفادة منها في العديد من المجالات العلمية والتقنية. نأمل أن يكون هذا المقال قد ساعدك في فهم الأعداد المركبة بشكل أفضل!